РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМЫ ПОДДЕРЖАНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ В ГОТОВНОСТИ К ПРИМЕНЕНИЮ

Полученные в § 7.5 зависимости позволя­ют оптимизировать совокупность следующих параметров системы поддержан и я готовности:

X = | тМпп> тпп* ТВ> wa> w3> w4j • (7’ 190)

Полученные на основе полумарковской модели зависимости Pi(X), Р3(Х), С'(Х) и другие—монотонны.

Следовательно, чем меньше значение параметров (о4, со2, в>з, тпп» тв и больше величина тмпп. тем меньше затраты на эксплуатацию, выше коэффициент готовности и меньше вероятность пребывания в состоянии восстановления. Отсюда следует тривиальное решение: в качестве оптимальных значений нужно принять нижние пределы to4H> to2H, “зн. Тпгін. Тв. н И верхний Тмпп в — Такому простому ре­шению могут препятствовать ограничения, накладываемые на функ­ции Pi(X), Рз(Х). Однако если ограничения окажутся для некоторых параметров существенными, то необходимо найти такие минималь­ные значения со4, со2, Щ, тпп, тв и максимальное тМпіь при которых удовлетворяются ограничивающие условия. Другими словами, если при оптимизации вектора X (7.190) учитывать затраты только в про­цессе эксплуатации ЛК, то необходимо принять наилучшие значения параметров (высокая надежность, быстрые проверки и восстановле­ние, большая длительность между проверками). Однако следует вспомнить, что достижение высоких качеств ЛК требует допол­нительных затрат при его проектировании, опытной отработке и произ­водстве. Так, например, чтобы повысить надежность ЛК (умень­шить величины со4, (о2, со3), необходимо ввести резервирование ка­налов в системе управления, повысить качество комплектующих элементов, провести большое количество натурных испытаний в ходе опытной отработки ЛК, т. е. затратить определенные средства и силы. Аналогично обстоит дело и с улучшением других параметров.

Таким образом, при оптимизации параметров на стадии разработ­ки программы эксплуатации ЛК, так же как это было сделано в (7.25), необходимо в целевую функцию ввести не только затраты на эксплуа­тацию, но и па создание ЛК с соответствующими параметрами, а в некоторых случаях и учесть ограничение типа (7.20) на время созда­ния комплексов с такими характеристиками.

С учетом сказанного и по аналогии с (7.18) введем степенную функ­цию, связывающую отнесенные к одноканальному ЛК дополнитель­ные затраты на обеспечение высоких значений вектора параметров (7.190) на стадии создания комплекса:

АС (X) = С0<4‘ «Nfr toVb’ т&пп, (7.191)

где С0 — известный нормирующий множитель, выраженный в услов­ных единицах стоимости; б±< 0, 62< 0, 63< 0, 64< 0, 65<0, Й6>0 — известные параметры.

В рассматриваемой задаче оптимизации вектора X в качестве це­левой функции Спп(Х) могут быть приняты суммарные затраты на обеспечение параметров X при создании и эксплуатацию в течение срока 7’э одноканального ЛК, имеющего принятую полумарковскую модель эксплуатации, включающую в себя пять состояний (рис. 7.7):

СПП(Х) = АС (X) + С (X) Тэ. (7.192)

Из (7.165) — (7.168) при произвольном значении величины С, имеем

С(Х) = С,[1 + С'(Х)]. (7.193)

Подставляя (7.193) в (7.192) с учетом (7.191) и (7.169), получим Спп(Х) = С00)2 (03*0)4’Тпп Тв Тмпп + С{ГЭ х

(а — 1) [РМпп(1—^пп)/(“2 + “з) + (l — рмпп) тпп] + + (6 — 1) (1 — рппрмпп) тв

ТМПП + ТПП + РМПП [ТВРМПП + тпп —

(1 Рпп)/(“з + “э)1

*°4ТМПП (wj-j-Wj) хпп

где Рмпп = Є АШП и Рпп = Є [СМ. (7.155) и (7.156)].

Рассмотрим далее возможную математическую постановку задачи оптимизации параметров тМпп, со4, тпп, тв, а>2, со3, начав с ее слове­сного определения.

Сформулируем задачу следующим образом: найти такие значения параметров X = (тМпп, тпп, тв, со2, «з, со4} системы поддержания одноканального ЛК в готовности к применению в области их допу­стимых изменений, при которых вероятность пребывания ЛК в ра­ботоспособном и готовом к применению состоянии была бы не ме­нее Ктр, вероятность нахождения комплекса в состоянии восста­новления — не более Рзтр. суммарные затраты Спп(Х) на обеспе­чение параметров X при создании и эксплуатацию в течение срока Тя одноканального ЛК, описываемого принятой полумарковской моделью, — минимальны.

В соответствии с зависимостями (7.194), (7.155), (7.156), (7.158), (7.159), (7.161), (7.169) математическая постановка задачи сводится к следующей записи:

C0a>s2VК*т^Чмпп + + (о-l) ГРмпп 1—Р— +

А { L «г+^з

+ (1 — Рмпп) tnnj + (b — 1) (1 — РппРмпп) Тв| = min;

(1 — РмппУКЛ) >• Ктр;

(1 — РппРмпп) тв/Л «Рзтр ;

— ТМПП ^ ТПГ1 тв Рмпп [ТпРцП + тпп

(1 — Pnn)/(w2 + w3)j >

ТМПП н ^ ТМПП ^ ТМПП В ’ Тпп н ^ ТПП ^ ТГ1П в 1 тв

°>2н <»о

В постановке задачи (7.195) — (7.199) полагаем известными сле­дующие величины:

ТП. Н! ~ в. ь » ш4н> ш4в» W3H, 0)3n’ w2h> (,)2и* (7.200)

Анализ показывает, что целевая функция и все функции ограни­чений — выпуклые, поэтому рассматриваемая постановка сводится к задаче выпуклого программирования, которую легко решают упо­минавшимися выше методами. Для наглядности рассмотрим возмож­ности ее решения только при двух оптимизируемых параметрах тмпп и (о4, наиболее сильно влияющих на целевую функцию, и функ­ции ограничений. При этом ограничение (7.197) на величину Р3, как менее существенное, снимем.

Пусть для конкретности заданы следующие исходные данные: тпп — ч> тв = 30 ч, о>2 -ф о)3 = 0,02 ч~ а = 2 уел. ед.,

Ь = 5 уел. ед.; тщш„ = 750 ч, тмппв = 10100 ч;

®«в= Ю-s ч"1, ю4в = 10~4 ч-1; Кгр = 0,9500; 8, = = Ьл = 8Б = 0;

*» = -!; 56=1.

При выборе Сі и С0 будем исходить из того, что при средних зна­чениях (о4 = 5- 10~Б ч-1 и тмпп = 5000 ч затраты на обеспечение таких характеристик ЛК при создании в 100 раз меньше стоимости эксплуатации без учета проведения ПП и восстановлений комплекса в течение срока Тд, т. е.

——————— = 10*, [откуда = 10* -^21! = ю> _5 ’ 1(р = Ю10.

ОГ^мпп Со <“4 5 • 10-

С учетом этого и в соответствии с (7.195) целевая функция прини­мает вид

40 + ‘гМГШ~25*496е

В последнем первый и третий члены, зависящие от оптимизируе­мых параметров, значительно меньше единицы, поэтому используем более чувствительную целевую функцию

^ПП ( ТМПП> ш4) = ^ПП ( ТМПП’ “а) 1,

минимум которой лежит в тей же точке, что и минимум Спп(тмпп, С, Ч). При этих данных в соответствии с (7.195) — (7.201) имеем следую­щую постановку задачи:

Проведем графический анализ постановки задачи (7.202) — (7.205). На плоскости со4, тМпп (рис. 7.9) заштрихованная область А допус-

тимых значений определяется ограничениями (7.203) — (7.205). Если бы в целевую функцию (7.202) не входил первый член, опре­деляющий расходы на создание ЛК с высокими характеристиками ш4, тмпп, то оптимальные значения о>4 и тмпп определялись бы точкой

л Л

а2(со4 = 1 • Ю 5 ч *; тмпп = 10 100 ч), т. е. в этом случае мини­мальные расходы на эксплуатацию ЛК были бы при его предельно высокой надежности, допускаемой ограничением (7.205). Поскольку при со4 — 1 • 10~8 ч-1 даже при предельно допустимой длительности межпроверочного периода тМпп = 10 100 ч [ограничение (7.204)1 выполняется требование (7.203) к коэффициенту готовности, то указанные предельные значения <м4, тмпп и будут оптимальными. При этом СПп вырождается в полученную ранее функцию С’ (7.169). Через точку й2 при принятых исходных данных проходит линия Стіп = 39,9 • 10-4 уел. ед., причем величина Cmm характеризует дополнительные затраты в единицу времени эксплуатации ЛК на проведение проверок и восстановление готовности сверх стоимости нахождения комплекса в готовности к применению.

Если же в целевой функции дополнительно учитываются затраты на обеспечение высокой надежности и большой продолжительности

межпроверочного периода ЛК при его создании [функция Спп і (7.202)], то оптимальные параметры теперь определяются точкой

л

йі(®4 = 3,6 ■ 10~Б ч- тмпп = 3100 ч), которой соответствует зна­чение целевой функции

С^п = 218,1 • 10"4 уел. ед.

В области А нанесен ряд других точек (со4, тмпп) и соответству­ющие им значения СПп ■ Ю4 уел. ед.

Для пояснения процедуры поиска оптимума рассмотрим рис. 7.10, на котором в интервале, определяемом ограничением (7.204) на ве­личину тМпп, построены графики изменения целевой функции Сппь

Спт, Спп. ч И коэффициента готовности /егппь КГПП2, /Сгппз со­ответственно при (о4 = 1 • 10 s, 4 • 10“Б и 7 • 10~Б ч1.

Характер изменения функций /СгппЦмпгь ю4) соответствует об­щему виду соответствующих кривых, представленных на рис. 7.8, только в рассматриваемой задаче имеем дело с частью этой функции, лежащей правее максимума. Ограничение /Сїр = 0,9500 [см. (7.203)1 нанесено пунктирной линией. Из графиков, показанных на рис. 7.9 и 7.10, видно, что условие (7.203) может быть выполнено только’при со4 = 7 • 10_Б — г — 1 • 10"Б ч-1, что сокращает интервал (7.205) до­пустимых значений параметра ы4. Целевые функции Спп (тдшп), построенные при разных значениях со4, имеют явно выраженный минимум. Точки минимумов функций С’пп(тмпп, °J4) соединены пунк­тирной линией Cnnmin — При со4 = 7 • 10~Б ч-1 минимум целевой функции достигается в точке тМпп = 5000 ч, однако ограничение на значение коэффициента готовности выполняется только при тмпп ~ ^ 750 ч, а в этом случае С’пп = 479,5 • Ю-4 уел. ед. (см. рис. 7.9). Для (о4 = 5 ■ 10-Б ч-1 предельно большое значение тМпп = 1650 ч обеспечивает /Сгпп = 0,9500, при этом получаем следующую точку СПп = 265,2 • Ю~4 уел. ед. на рис. 7.9. Аналогично находим:

cim К = 4 • 10 5 «г1, тмпп = 2500 ч) = 222,5 • 1(Г4 уел. ед.; спп (0)4 = 3 • 10-5 4-і, Тмпп = 4000 ч) = 237,9.10-4 уел. ед. и, наконец,

Спп («>4 = 3,6 • 10-5 ч-і, Тдшп = ЗЮО ч) = 218,1 • 10-4 уел. ед.

Исследование окрестностей точки внутри области А показы­вает, что при принятых исходных данных оптимум лежит на границе области. Однако при некотором изменении масштаба платы за созда­ние ЛК [изменении коэффициента в первом члене целевой функции (7.202)] оптимум смещается внутрь области А.

Заметим также, что с уменьшением значений о>4 ограничение на величину /СгПП выполняется В большем диапазоне Тмпгь поэтому мож­но ближе подойти к безусловному минимуму функции Спп(тмпп, ft>4 = = const), однако абсолютное значение такого минимума при высокой надежности ЛК (малых со4) больше, чем неминимальные значения С’пп при низкой надежности, достижение которой не требует больших затрат при создании комплекса. Так, например, при со4 = 1 ■ 10"5 ч-1 в точке безусловного минимума Спп, обеспечивающего и выполнение требований по коэффициенту готовности, имеем (рис. 7.9)

cnn(w4 := 1 • 10-5 чг1, тмпп = 1650) = 359,4 • 10“4 уел. ед.

Таким образом, при построении алгоритма решения подобной за­дачи можно рекомендовать сначала исследовать границу области, определяемую ограничением (7.203) на величину коэффициента го­товности, а затем окрестности точки на кривой /Сгпп(«4> тмпп) = = Ктр, в которой целевая функция Спп(ю4, тмпп) достигает частного минимума.

Рассмотренный выше подход к постановке и решению задачи оптимизации параметров системы поддержания ЛК в готовности к применению как части программы эксплуатации комплекса характе­рен для этапа разработки ТТ и проектирования нового ЛК. Однако не менее важной практической задачей является корректировка та­кой программы на стадии начала эксплуатации первых ЛК, когда выясняются реально достигнутые показатели надежности. Рассмот­рим возможности и методы решения этой задачи в следующем пара­графе.